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Message-Id: <v0401052cbb843b691087__AT__mail.ms.u-tokyo.ac.jp>
Date: Wed, 10 Sep 2003 11:28:04 +0900
To: infinite__AT__ising.rikkyo.ac.jp
From: 白石潤一<shiraish__AT__ms.u-tokyo.ac.jp>
Subject: 集中講議のおしらせ（再）


東京大学大学院数理科学研究科の集中講議のお知らせ


日時：
１０月６日から１０月１０日(１４：４０-１６：４０)

場所：東京大学大学院数理科学研究科１２３号室

タイトル：
無限解析入門と概説

講師：
京都大学理学研究科 三輪哲二

講議概要：
この講義では統計物理と場の量子論の可解模型についての
概説を行なう。この分野の問題は数学的にみて際立った特徴を持つ。すなわち
考えている系の物理的自由度が無限大だという点である。例えば
磁石は巨大な数の鉄の原子からなるがその１個１個が自由度を持つ。
数学的には自由度は和または積分の変数に対応する。無限自由度を持つ系においては
物理量にたいして解析的な解を求めることは一般には難しい。ところが実際には
多くの興味深い例について解が得られている。

講義ではその中から５つの話題を取り上げ、それぞれについて知られている結果を
概説する。５つの話題とは２次元イジング模型、ソリトン方程式、
共形場理論、XXZ 模型、サインゴルドン模型である。
これらの模型に共通する性質は大きな対称性の存在である。
自由度が無限大の極限で対称性も無限大になる。これは
物理系が無限次元代数の表現空間としてとらえられるということである。
このつながりによってフェルミオン代数、ボゾン代数、ヴィラソロ代数、
アフィンリー環、量子アフィン代数等の表現論が物理の問題に応用される。
逆に、表現論に新しい問題や手法が生まれることにもなる。
このような意味で物理の可解模型と数学の表現論が相互作用する分野が
無限解析である。

無限解析の中心となる概念がスペクトル変数である。スペクトル変数を含む
作用素は頂点作用素と呼ばれる。物理的にはスペクトル変数は空間あるいは
運動量の変数である。この意味では頂点作用素は場の理論でいうところの
場の演算子に他ならない。数学的には、可解模型の頂点作用素は対称性を記述している
という点が重要である。頂点作用素は無限次元代数の表現あるいは異なる表現の
間をつなぐものとして登場する。頂点作用素いくつかの積の行列要素やトレースを
考えると多変数の特殊関数が得られる。こうして得られる関数が、
対称性の実現として線形／非線形の差分／微分方程式の解になる。
このような形でパンルヴェ方程式、KP／KdV方程式、KZ／qKZ方程式
が無限解析に登場する。